1996 年考研数学（一） 第 18 题

处理 $\xi {\xi }^{\mathrm{T}}$ 这种「列乘行」矩阵，诀窍是把 ${\xi }^{\mathrm{T}}\xi$ 当标量抽出来，$A^2$ 立刻化简。判不可逆时，$A^2=A$ 即幂等，几何上意味着有特征值 $0$；代数上用 $A(E-A)=O$ 配合秩的加法夹逼得 $r(A)+r(E-A)=n$，而 $E-A\ne O$ 逼出 $r(A)<n$。

(1) 记数 $k={\xi }^{\mathrm{T}}\xi$（$1\times 1$ 视为标量）。注意 $\xi {\xi }^{\mathrm{T}}\cdot \xi {\xi }^{\mathrm{T}}=\xi ({\xi }^{\mathrm{T}}\xi ){\xi }^{\mathrm{T}}=k\xi {\xi }^{\mathrm{T}}$，于是

$$A^2=(E-\xi {\xi }^{\mathrm{T}}{)}^2=E-2\xi {\xi }^{\mathrm{T}}+k\xi {\xi }^{\mathrm{T}}=E+(k-2)\xi {\xi }^{\mathrm{T}}.$$

因 $\xi \ne 0$，故 $\xi {\xi }^{\mathrm{T}}\ne O$。于是 $A^2=A=E-\xi {\xi }^{\mathrm{T}}$ 当且仅当 $(k-2)\xi {\xi }^{\mathrm{T}}=-\xi {\xi }^{\mathrm{T}}$，即 $k-2=-1$，$k=1$。故 $A^2=A⟺{\xi }^{\mathrm{T}}\xi =1$。

(2) 当 ${\xi }^{\mathrm{T}}\xi =1$ 时由 (1) 有 $A^2=A$，即 $A(E-A)=O$，故 $r(A)+r(E-A)\le n$。

又 $r(A)+r(E-A)\ge r(A+(E-A))=r(E)=n$，故 $r(A)+r(E-A)=n$。

而 $E-A=\xi {\xi }^{\mathrm{T}}\ne O$，故 $r(E-A)\ge 1$，从而 $r(A)\le n-1<n$，即 $A$ 不可逆。

（另证：$B=\xi {\xi }^{\mathrm{T}}$ 的特征值为 ${\xi }^{\mathrm{T}}\xi =1$ 及 $n-1$ 个 $0$，故 $A=E-B$ 有特征值 $0$，$|A|=0$，$A$ 不可逆。）