1996 年考研数学（一） 第 19 题

二次型一切从对称矩阵 $A$ 出发。「秩 $2<3$」直接给出定 $c$ 的方程 $|A|=0$。特征值里恰出现一个 $0$（与秩一致），正交变换后标准形缺一个变量、另两项同号为正，几何上正是椭圆柱面。

本题考查二次型矩阵、秩与特征值，以及二次曲面的判定。

二次型对应的对称矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ -1& 5& -3\\ 3& -3& c\end{array}\right)$，则 $f=X^{\mathrm{T}}AX$。

(1) 求 $c$。 二次型秩为 $2$，即 $r(A)=2<3$，故 $|A|=0$。计算 $|A|=24c-72$，令其为 $0$ 得 $c=3$。

取 $c=3$，求特征值：

$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -5& 1& -3\\ 1& \lambda -5& 3\\ -3& 3& \lambda -3\end{array}\right|=\lambda (\lambda -4)(\lambda -9).$$

故特征值为 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=4,{\lambda }_3=9$（其中一个为 $0$，正与 $r(A)=2$ 一致）。

(2) 用正交变换化为标准形 $f=4y_2^2+9y_3^2$。故 $f(x_1,x_2,x_3)=1$ 即 $4y_2^2+9y_3^2=1$，方程不含 $y_1$，表示椭圆柱面。