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1996 年考研数学（一）第 20 题

填空题 · 3 分

设工厂

A

和工厂

B

的产品的次品率分别为

1%

和

2%

，现从由

A

厂和

B

厂的产品分别占

60%

和

40%

的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于

A

厂生产的概率为 ___.

提示 1

已知「取到的是次品」反推「它来自

A

厂」，属「由果溯因」，用贝叶斯公式。

提示 2

设好事件：取到

A

厂、取到

B

厂、取到次品，写出各自的先验概率与条件次品率。

提示 3

分母用全概率公式（两条来源路径的次品概率之和），分子取

A

厂那条路径。

答案与详解

答案 $\frac{3}{7}$

思路（为什么这么做）

题目给的是「原因

\to

结果」的概率（各厂次品率），却问「结果

\to

原因」（次品来自

A

），这种反向条件概率正是贝叶斯公式的标志。先用全概率算出总次品率作分母，再把

A

厂的贡献放分子，比值即为所求。

解答

本题考查全概率公式与贝叶斯公式。

记

A_{1} = {

取到

A

厂产品

}

，

A_{2} = {

取到

B

厂产品

}

，

B = {

取到次品

}

。则

P (A_{1}) = 0.6, P (A_{2}) = 0.4, P (B ∣ A_{1}) = 0.01, P (B ∣ A_{2}) = 0.02

。

由贝叶斯公式：

P (A_{1} ∣ B) = \frac{P ( A _{1} ) P ( B ∣ A _{1} )}{P ( A _{1} ) P ( B ∣ A _{1} ) + P ( A _{2} ) P ( B ∣ A _{2} )} = \frac{0.6 \times 0.01}{0.6 \times 0.01 + 0.4 \times 0.02} = \frac{0.006}{0.014} = \frac{3}{7} .

考点：全概率公式与贝叶斯公式、条件概率与乘法公式

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