1996 年考研数学（一） 第 21 题

直接对 $|\xi -\eta |$ 求期望要做二重积分，较繁；关键简化是先合并——独立正态之差 $U=\xi -\eta$ 服从 $N(0,1)$，把二维问题降为一维 $E|U|$。再借被积函数的偶对称性折半，$u{e}^{-u^2/2}$ 恰可凑微分积出。

本题考查正态分布线性组合的分布及期望计算。

令 $U=\xi -\eta$。$\xi ,\eta$ 独立正态，方差均为 $\frac{1}{2}$，故 $U\sim N\left(0,\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=N(0,1)$。

于是 $E(|\xi -\eta |)=E(|U|)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|u|\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-u^2/2}\mathrm{d}u=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{+\infty }u{e}^{-u^2/2}\mathrm{d}u.$

而 ${\int }_0^{+\infty }u{e}^{-u^2/2}\mathrm{d}u={\left[-e^{-u^2/2}\right]}_0^{+\infty }=1$，故 $E(|\xi -\eta |)=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}$（即 $\sqrt{2/\pi }$）。