1996 年考研数学（一） 第 22 题

$\max ,\min$ 型联合分布的通法是「回到源头」：列出 $(\xi ,\eta )$ 全部等概率取值，看每一对映成哪个 $(X,Y)$。因 $X\ge Y$，概率集中在下三角；把落到同一 $(X,Y)$ 的格子概率相加即得联合律，边缘化后按定义求 $E(X)$。

本题考查 $\max ,\min$ 型随机变量的联合分布与期望。 $\xi ,\eta$ 独立同分布，每个取 $1,2,3$ 概率均为 $\frac{1}{3}$，故 $(\xi ,\eta )$ 的每个取值 $(i,j)$ 概率为 $\frac{1}{9}$。

因 $X=\max \ge \min =Y$，故当 $X<Y$（下表中主对角线以上的格子）时概率为 $0$。逐格统计 $(\xi ,\eta )$ 落入的情形：

$P\{X=1,Y=1\}=P\{\xi =1,\eta =1\}=\frac{1}{9}$；
$P\{X=2,Y=1\}=P\{\xi =1,\eta =2\}+P\{\xi =2,\eta =1\}=\frac{2}{9}$，$P\{X=2,Y=2\}=\frac{1}{9}$；
$P\{X=3,Y=1\}=\frac{2}{9}$，$P\{X=3,Y=2\}=\frac{2}{9}$，$P\{X=3,Y=3\}=\frac{1}{9}$；其余为 $0$。

(1) $(X,Y)$ 的联合分布律：

$$\begin{array}{cccc}X\backslash Y& 1& 2& 3\\ 1& \frac{1}{9}& 0& 0\\ 2& \frac{2}{9}& \frac{1}{9}& 0\\ 3& \frac{2}{9}& \frac{2}{9}& \frac{1}{9}\end{array}$$

(2) $X$ 的边缘分布：$P\{X=1\}=\frac{1}{9}$，$P\{X=2\}=\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}$，$P\{X=3\}=\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$。

故 $E(X)=1\cdot \frac{1}{9}+2\cdot \frac{3}{9}+3\cdot \frac{5}{9}=\frac{1+6+15}{9}=\frac{22}{9}$。