1995 年考研数学（一） 第 5 题

先做符号运算再代数值，能避免对含逆的方程硬算。通过左乘 $\mathbf{A}$、右乘 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 把 ${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{A}$ 化简，解出 $\mathbf{B}$ 的表达式后，抓住『$\mathbf{A}$ 为对角阵、求逆平凡』这一便利，逐个对角元代入即可顺畅得到结果。

分析：先由矩阵方程解出 $\mathbf{B}$ 的表达式，再代入对角阵计算。

在 ${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{A}=6\mathbf{A}+\mathbf{B}\mathbf{A}$ 两边左乘 $\mathbf{A}$、右乘 ${\mathbf{A}}^{-1}$，得 $\mathbf{B}=6\mathbf{A}+\mathbf{A}\mathbf{B}$，即 $(\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{B}=6\mathbf{A}$，故
$$\mathbf{B}=6(\mathbf{E}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{A}=6{\left[{\mathbf{A}}^{-1}(\mathbf{E}-\mathbf{A})\right]}^{-1}=6({\mathbf{A}}^{-1}-\mathbf{E}{)}^{-1}.$$

由 ${\mathbf{A}}^{-1}=\mathrm{diag}(3,4,7)$，得 ${\mathbf{A}}^{-1}-\mathbf{E}=\mathrm{diag}(2,3,6)$，从而 $({\mathbf{A}}^{-1}-\mathbf{E}{)}^{-1}=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)$，故
$$\mathbf{B}=6\mathrm{diag}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$