1995 年考研数学（一） 第 4 题

关键识别点是『缺项』——指数为 $2n-1$，相邻项相差两个幂次，此时套标准系数公式易错，直接对通项用比值判别法最稳。求极限时注意 $|(-3{)}^n|$ 增长快于 $2^n$，主导了分母，比值极限化为 $\frac{1}{3}|x{|}^2$，令其小于 $1$ 即得收敛半径。

分析：该级数缺项（只含 $x$ 的奇次幂 $x^{2n-1}$），直接对通项用比值法求极限，确定收敛区间。

记通项 $u_n=\frac{n}{2^n+(-3{)}^n}{x}^{2n-1}$，则
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{n}\cdot \left|\frac{2^n+(-3{)}^n}{2^{n+1}+(-3{)}^{n+1}}\right|\cdot |x{|}^2=\frac{1}{3}|x{|}^2.$$

令 $\frac{1}{3}|x{|}^2<1$ 得 $|x|<\sqrt{3}$，故收敛半径 $R=\sqrt{3}$。