1995 年考研数学（一） 第 3 题

看到 $[(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})]\cdot (\mathbf{c}+\mathbf{a})$ 这种对称组合，就应想到用混合积的线性性硬展开，再靠『重复向量的混合积为零』大量消项。真正有贡献的只剩 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 各一次的项，用轮换不变性把它们都化成 $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$，即得它的整数倍。

分析：利用向量积的分配律及混合积的性质——含相同向量的混合积为零，混合积在轮换下不变。

先展开叉积（其中 $\mathbf{b}\times \mathbf{b}=0$）：
$$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}+\mathbf{b}\times \mathbf{c}.$$

再点乘 $(\mathbf{c}+\mathbf{a})$，凡含重复向量的混合积均为 $0$，只剩
$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}+(\mathbf{b}\times \mathbf{c})\cdot \mathbf{a}=2(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=2\times 2=4.$$