1995 年考研数学（一） 第 2 题

陷阱在于 $x$ 混在被积函数里——它对 $t$ 是常数，绝不能直接套变限求导公式。先把 $x$ 提到积分号外（顺手调正上下限、记住负号），问题就变成常数因子 $x$ 乘变限积分的乘积求导，再对上限 $x^2$ 用复合变限求导即可。

分析：被积函数中的 $x$ 对积分变量 $t$ 是常数，应先把 $x$ 提到积分号外，再用乘积求导与变限积分求导法则。

先将 $x$ 提出，并交换上下限：
$$\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^{0}x\cos t^{2}dt=-\frac{d}{dx}\left(x{\int }_0^{x^2}\cos t^{2}dt\right).$$

由乘积求导，并注意 $\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\cos t^{2}dt=\cos ((x^2{)}^2)\cdot 2x=2x\cos x^4$，得
$$=-{\int }_0^{x^2}\cos t^{2}dt-x\cdot 2x\cos x^4=-{\int }_0^{x^2}\cos t^{2}dt-2x^2\cos x^4.$$