1995 年考研数学（一） 第 1 题

看到底数趋于 $1$、指数趋于 $\infty$，立刻判定为 $1^{\infty }$ 型，标准动作是凑重要极限 $\lim (1+u{)}^{1/u}=e$。关键是把指数改写成『$\frac{1}{3x}$ 乘上剩下的因子』，让括号内自然趋于 $e$，剩下的因子取极限就是 $e$ 的幂次。

分析：这是 $1^{\infty }$ 型幂指函数极限，利用重要极限 $\lim (1+u{)}^{1/u}=e$ 处理。

把指数凑成 $\frac{1}{3x}$ 的形式：
$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{2}{\sin x}}=\underset{x\to 0}{\lim }{\left[(1+3x{)}^{\frac{1}{3x}}\right]}^{\frac{6x}{\sin x}}.$$

当 $x\to 0$ 时 $(1+3x{)}^{\frac{1}{3x}}\to e$，且 $\frac{6x}{\sin x}\to 6$，故原极限 $=e^6$。