1994 年考研数学（一） 第 3 题

这是一道纯计算题，关键是严格按混合偏导的次序机械求导，切忌提前代数值（代早了会漏项）。之所以最后能算得干净，是因为代入点使 $\frac{x}{y}=2\pi$ 恰落在正弦零点、余弦峰值上，所以把代入留到最末一步最省力。

先对 $x$ 求偏导：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=-{\mathrm{e}}^{-x}\sin \frac{x}{y}+\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{y}\cos \frac{x}{y}.$$

再对 $y$ 求偏导：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{y^2}\cos \frac{x}{y}-\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{y^2}\cos \frac{x}{y}+\frac{x{\mathrm{e}}^{-x}}{y^3}\sin \frac{x}{y}.$$

在点 $\left(2,\frac{1}{\pi }\right)$ 处 $\frac{x}{y}=2\pi$，$\sin 2\pi =0$，$\cos 2\pi =1$，代入得
$${\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}|}_{(2,\frac{1}{\pi })}=2{\pi }^2{\mathrm{e}}^{-2}-{\pi }^2{\mathrm{e}}^{-2}+0={\left(\frac{\pi }{\mathrm{e}}\right)}^2=\frac{{\pi }^2}{{\mathrm{e}}^2}.$$