1994 年考研数学（一） 第 2 题

曲面由方程隐式给出，求切平面即求法向量，最省事的做法是把式子搬到一边写成 $F=0$，则 $\nabla F$ 就是法向量。这样无须把 $z$ 解成显式（本题 $z-e^z$ 本就解不出），对三个变量分别求偏导、代点即可得到法向量与平面方程。

分析：把曲面写成 $F(x,y,z)=0$，法向量取 $\nabla F$。

令 $F(x,y,z)=2xy+z-{\mathrm{e}}^z-3$，则
$$\vec{n}=(F_x,F_y,F_z)=(2y,2x,1-{\mathrm{e}}^z).$$

在点 $(1,2,0)$ 处 $\vec{n}=(4,2,1-{\mathrm{e}}^0)=(4,2,0)$，故切平面为
$$4(x-1)+2(y-2)+0\cdot (z-0)=0,\text{即}2x+y-4=0.$$