1994 年考研数学（一） 第 1 题

看到 $\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}$ 这种两个趋于无穷的量相减，第一反应是通分成单个分式，把不定型统一成 $\frac{0}{0}$。识别出分子 $x-\sin x$ 是三阶无穷小、分母能配成 $x^3$ 后，问题就退化为教材反复出现的标准极限 $\frac{x-\sin x}{x^3}$：分母用等价无穷小替换、分子逐次降阶即可求得。

分析：先通分整理成 $\frac{0}{0}$ 型，再用等价无穷小与洛必达法则。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\cot x\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{x-\sin x}{x\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x\sin x\tan x}.$$

当 $x\to 0$ 时 $\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，故分母 $x\sin x\tan x\sim x^3$，于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}.$$

故所求极限为 $\frac{1}{6}$。