1994 年考研数学（一） 第 4 题

圆盘对 $x,y$ 有轮换对称性，分别硬算 $\iint x^2$、$\iint y^2$ 是重复劳动；抓住“对称区域上 $x^2$ 与 $y^2$ 积分相等”，即可把它们并成 $\frac{1}{2}\iint (x^2+y^2)$，再借 $x^2+y^2=r^2$ 用极坐标一步算出，避开逐项繁琐积分。

分析：区域关于 $x,y$ 对称，利用轮换对称性。

由对称性 ${\iint }_D{x}^2\mathrm{d}\sigma ={\iint }_D{y}^2\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_D(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma$，用极坐标
$${\iint }_D{x}^2\mathrm{d}\sigma =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^R{r}^3\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4}=\frac{\pi R^4}{4}.$$

于是
$${\iint }_D\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\mathrm{d}\sigma =\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\frac{\pi R^4}{4}=\frac{\pi R^4}{4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right).$$