1994 年考研数学（一） 第 5 题

见到 ${\alpha }^{\mathrm{T}}\beta$ 这种“列乘行”的秩 $1$ 矩阵求 $n$ 次幂，标准技巧是用结合律把相邻的 $\beta {\alpha }^{\mathrm{T}}$（行乘列）缩成一个标量。于是每乘一次 $A$ 便提出一个常数因子，$A^n$ 自然退化为 $k^{n-1}A$，把矩阵幂化成了求一个内积再写出 $A$。

分析：$\mathbf{A}={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }$ 为秩 1 矩阵，利用 $\mathbf{\beta }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}$ 是数（内积）降幂。

$$\mathbf{A}={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ 2& 1& \frac{2}{3}\\ 3& \frac{3}{2}& 1\end{array}\right).$$

注意 $\mathbf{\beta }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}=(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=1\cdot 1+2\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \frac{1}{3}=3$ 是一个数，故
$${\mathbf{A}}^n={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}(\mathbf{\beta }{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{)}^{n-1}\mathbf{\beta }=3^{n-1}{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }=3^{n-1}\mathbf{A}.$$

即 ${\mathbf{A}}^n=3^{n-1}\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ 2& 1& \frac{2}{3}\\ 3& \frac{3}{2}& 1\end{array}\right)$。