1994 年考研数学（一） 第 6 题

对称区间上比较定积分大小，几乎都在考奇偶性——奇函数积掉、偶函数留下。识别出 $M$ 的被积函数整体为奇函数（值为 $0$），$N,P$ 各自剥去奇项后由剩下的偶项 ${\cos }^{4}x$ 定符号，就能在完全不求积分值的情况下判断三者正负、直接排序。

分析：积分区间关于原点对称，用奇偶函数的积分性质判定符号。

$\frac{\sin x}{1+x^2}{\cos }^{4}x$ 为奇函数，故 $M=0$。

${\sin }^{3}x$ 为奇函数、${\cos }^{4}x$ 为偶函数，故 $N={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{4}x\mathrm{d}x=2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{4}x\mathrm{d}x>0$。

$x^2{\sin }^{3}x$ 为奇函数、${\cos }^{4}x$ 为偶函数，故 $P=-{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{4}x\mathrm{d}x=-2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{4}x\mathrm{d}x<0$。

于是 $P<0=M<N$，即 $P<M<N$，应选 D。