1994 年考研数学（一） 第 7 题

这类“……的什么条件”要靠反例说话。关键洞察是多元函数的偏导只用到沿 $x$、$y$ 两条直线上的信息，管不住其他方向的逼近，故偏导存在推不出连续；反过来像 $|x|+|y|$ 这种连续却有尖点的函数偏导又不存在。两头都能举反例，蕴含关系全断，条件互不包含。

分析：多元函数偏导数存在与连续之间没有蕴含关系，各举反例即可。

偏导存在推不出连续。 取 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 由定义 $f_x^{\prime }(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=0$，同理 $f_y^{\prime }(0,0)=0$，两偏导均存在；但沿 $y=x$ 与 $y=-x$ 趋近原点极限分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $-\frac{1}{2}$，故 $f$ 在 $(0,0)$ 不连续。

连续推不出偏导存在。 取 $f(x,y)=|x|+|y|$，它在 $(0,0)$ 连续；但 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$ 不存在，故偏导不存在。

两者互不蕴含，应选 D。