1994 年考研数学（一） 第 8 题

已知 $\sum a_n^2$ 收敛，而目标通项里 $|a_n|$ 只有一次方，二者“次数对不上”——这提示用均值不等式 $ab\le \frac{1}{2}(a^2+b^2)$ 把一次的 $|a_n|$ 换成平方 $a_n^2$。放大后恰好凑出题给的 $\sum a_n^2$ 和收敛的 $\sum \frac{1}{n^2+\lambda }$，于是由正项级数比较判别法得到绝对收敛。

分析：对通项取绝对值，用均值不等式放缩到两个收敛的正项级数。

由 $ab⩽\frac{1}{2}(a^2+b^2)$ 得
$$\left|(-1{)}^n\frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+\lambda }}\right|=\frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+\lambda }}⩽\frac{1}{2}\left(a_n^2+\frac{1}{n^2+\lambda }\right).$$

因为 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$ 收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+\lambda }$ 也收敛，由正项级数比较判别法知 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|(-1{)}^n\frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+\lambda }}\right|$ 收敛，

即原级数绝对收敛，应选 C。