1994 年考研数学（一） 第 9 题

$x\to 0$ 的分式极限，第一步永远是用等价无穷小把各项化成 $x$ 的幂。这里分子分母都是“一阶项 + 二阶项”的混合，取极限时二阶项相对一阶项可忽略，真正起作用的只有 $\tan x$ 与 $\ln (1-2x)$ 的一阶系数 $a$ 与 $-2c$。令其比为 $2$ 即得系数关系；$b,d$ 因属高阶项根本不进入等式。

分析：分子分母同除以 $x$，用等价无穷小取最低阶项。当 $x\to 0$ 时
$$\tan x\sim x,1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},\ln (1-2x)\sim -2x,1-{\mathrm{e}}^{-x^2}\sim x^2.$$

于是
$$2=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a\tan x+b(1-\cos x)}{c\ln (1-2x)+d(1-{\mathrm{e}}^{-x^2})}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{a\tan x}{x}+\frac{b(1-\cos x)}{x}}{\frac{c\ln (1-2x)}{x}+\frac{d(1-{\mathrm{e}}^{-x^2})}{x}}=\frac{a+0}{-2c+0}=\frac{a}{-2c}.$$

由 $\frac{a}{-2c}=2$ 得 $a=-4c$，应选 D。