1994 年考研数学（一） 第 10 题

原向量组无关时，新组是否无关完全由组合系数矩阵 $\mathbf{C}$ 的可逆性决定——$|\mathbf{C}|\ne 0$ 则秩不降、仍无关。做选择题更快的办法是找“零组合”：像 $({\alpha }_1+{\alpha }_2)-({\alpha }_2+{\alpha }_3)+\cdots$ 这种首尾相消的结构一旦凑出 $0$ 就判为相关、立即排除，剩下的即答案。

分析：找出各组之间的线性关系；若存在非零系数使组合为零则线性相关。

（A）：$({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)-({\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3)+({\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_4)-({\mathbf{\alpha }}_4+{\mathbf{\alpha }}_1)=0$，线性相关，排除。

（B）：$({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2)+({\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_3)+({\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_4)+({\mathbf{\alpha }}_4-{\mathbf{\alpha }}_1)=0$，线性相关，排除。

（D）：$({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)-({\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3)+({\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_4)+({\mathbf{\alpha }}_4-{\mathbf{\alpha }}_1)=0$，线性相关，排除。

（C）：记 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)$，则该组 $=\mathbf{A}\mathbf{C}$，其中
$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right),|\mathbf{C}|=2\ne 0.$$

因 ${\mathbf{\alpha }}_1,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性无关即 $r(\mathbf{A})=4$，且 $\mathbf{C}$ 满秩，故新向量组秩仍为 $4$，线性无关，应选 C。