1994 年考研数学（一） 第 11 题

参数方程配变限积分，难点在对 $y$ 求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 时那一项变限积分的导数。用微积分基本定理算它，并借 $t>0$ 使 $\frac{1}{2\sqrt{t^2}}\cdot 2t=1$，恰与前面的 $\cos t^2$ 项抵消，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 一下变得简洁。识破这个“设计好的抵消”后，一阶、二阶导都顺理成章。

分析：参数方程求导，注意 $y$ 中含变限积分，对 $t$ 求导要用微积分基本定理（$t>0$ 时 $\sqrt{t^2}=t$）。

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-2t\sin t^2.$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\cos t^2-2t^2\sin t^2-2t\cdot \frac{1}{2\sqrt{t^2}}\cos t^2=\cos t^2-2t^2\sin t^2-\cos t^2=-2t^2\sin t^2.$$

于是
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{-2t^2\sin t^2}{-2t\sin t^2}=t,{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{t=\sqrt{\pi /2}}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$$

再对 $x$ 求二阶导：
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\right)/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{1}{-2t\sin t^2}.$$

当 $t=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ 时 $t^2=\frac{\pi }{2}$，$\sin \frac{\pi }{2}=1$，故
$${\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}|}_{t=\sqrt{\pi /2}}=\frac{1}{-2\sqrt{\pi /2}}=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}.$$