1994 年考研数学（一） 第 12 题

$f$ 由对数与反正切拼成，直接套展开式易乱；注意到求导能把 $\ln$、$\arctan$ 都变成有理分式，且通分后惊人地化简为 $\frac{x^4}{1-x^4}$，这正是几何级数。于是走“先导后积”：对 $f^{\prime }$ 用等比级数展开、再借 $f(0)=0$ 逐项积分，就把展开化成套用 $\frac{1}{1-t}=\sum t^n$ 的公式。

分析：先求导得到简单的可展开表达式，再逐项积分。注意 $f(0)=0$。

$f(x)=\frac{1}{4}\ln (1+x)-\frac{1}{4}\ln (1-x)+\frac{1}{2}\arctan x-x$，求导得
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{4(1+x)}+\frac{1}{4(1-x)}+\frac{1}{2(1+x^2)}-1=\frac{1}{2(1-x^2)}+\frac{1}{2(1+x^2)}-1=\frac{1}{1-x^4}-1.$$

当 $|x|<1$ 时
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x^4}-1=\frac{x^4}{1-x^4}=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{4n}.$$

由 $f(0)=0$，逐项积分得
$$f(x)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{4n+1}}{4n+1},-1<x<1.$$