1994 年考研数学（一） 第 13 题

面对 $\frac{1}{\sin 2x+2\sin x}$，倍角公式立刻暴露公因子 $2\sin x$，分母分解为 $2\sin x(1+\cos x)$。为消去 $(1+\cos x)$，乘共轭因子 $(1-\cos x)$ 凑平方差得 ${\sin }^{2}x$，从而把被积函数统一成 $\sin x$ 的幂、转化为可递推的 ${\csc }^{3}x$ 标准型，避开万能代换的繁琐。

分析：先对分母因式分解，再作三角有理式的化简。

$\sin 2x+2\sin x=2\sin x\cos x+2\sin x=2\sin x(1+\cos x)$，故
$$\int \frac{\mathrm{d}x}{2\sin x(1+\cos x)}=\frac{1}{2}\int \frac{(1-\cos x)\mathrm{d}x}{\sin x(1+\cos x)(1-\cos x)}=\frac{1}{2}\int \frac{1-\cos x}{{\sin }^{3}x}\mathrm{d}x.$$

$$=\frac{1}{2}\int {\csc }^{3}x\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int \frac{\cos x}{{\sin }^{3}x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int {\csc }^{3}x\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}(\sin x)}{{\sin }^{3}x}=\frac{1}{2}\int {\csc }^{3}x\mathrm{d}x+\frac{1}{4{\sin }^{2}x}.$$

其中由分部积分递推得 $\int {\csc }^{3}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|\right)+C$。

故
$$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x}=\frac{1}{4}\left(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|\right)+\frac{1}{4{\sin }^{2}x}+C.$$