1994 年考研数学（一） 第 14 题

被积函数带分母 $x^2+y^2+z^2$，直接用高斯公式求散度会很丑，故改走“分片 + 对称性”。两处关键观察：$z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 在上下底因偶函数配相反定向而抵消、在侧面因投影为零而消失；$x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 只剩侧面且那里 $x^2+y^2=R^2$ 把分母降为 $R^2+z^2$。抓住这些对称与投影特征，积分被化成一个简单的二重积分。

分析：$S$ 由上底 ${\Sigma }_2:z=R$（上侧）、下底 ${\Sigma }_1:z=-R$（下侧）、侧面 ${\Sigma }_3:x^2+y^2=R^2$（外侧，$-R⩽z⩽R$）三部分组成。分别利用对称性简化。

含 $z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 的部分。 侧面 ${\Sigma }_3$ 在 $xy$ 面投影为曲线，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$。在上、下底上被积函数 $\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}$ 关于 $z$ 为偶函数，而 ${\Sigma }_1,{\Sigma }_2$ 定向相反，两者相消，故 ${\iint }_S\frac{z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{x^2+y^2+z^2}=0$。

含 $x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 的部分。 上、下底上 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z=0$，故只剩侧面 ${\Sigma }_3$，其上 $x^2+y^2=R^2$，即分母为 $R^2+z^2$。取前侧 ${\Sigma }_3^{(1)}:x=\sqrt{R^2-y^2}(x⩾0)$，由 $\frac{x}{x^2+y^2+z^2}$ 关于 $x$ 的奇性知前后两半贡献相等：

$$I={\iint }_{{\Sigma }_3}\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{R^2+z^2}=2{\iint }_{{\Sigma }_3^{(1)}}\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{R^2+z^2}=8{\int }_0^R\sqrt{R^2-y^2}\mathrm{d}y{\int }_0^R\frac{\mathrm{d}z}{R^2+z^2}.$$

其中 ${\int }_0^R\sqrt{R^2-y^2}\mathrm{d}y=\frac{\pi R^2}{4}$，${\int }_0^R\frac{\mathrm{d}z}{R^2+z^2}=\frac{1}{R}\arctan \frac{z}{R}{|}_0^R=\frac{\pi }{4R}$，故
$$I=8\cdot \frac{\pi R^2}{4}\cdot \frac{\pi }{4R}=\frac{{\pi }^{2}R}{2}.$$

综上，原曲面积分 $=\frac{{\pi }^{2}R}{2}$。