1994 年考研数学（一） 第 15 题

题目把“全微分方程”当已知，恰好提供了确定未知函数 $f$ 的方程——相等条件 $Q_x=P_y$ 消去 $y$ 后逼出 $f^{\prime \prime }+f=x^2$。这是“先用可积性条件求 $f$、再回到全微分方程求原函数”的两段式套路；识别出“全微分 $\Rightarrow$ 混合偏导相等”这一桥梁是破题关键。

分析：由全微分方程条件 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 得到关于 $f$ 的微分方程，解出 $f$ 后再求原函数。

记 $P=xy(x+y)-f(x)y=x^{2}y+x{y}^2-f(x)y$，$Q=f^{\prime }(x)+x^{2}y$。由
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=f^{\prime \prime }(x)+2xy,\frac{\partial P}{\partial y}=x^2+2xy-f(x)$$
相等得 $f^{\prime \prime }(x)+f(x)=x^2$。

特征方程 ${\lambda }^2+1=0$，特征根 $\lambda =\pm \mathrm{i}$，齐次通解 $C_1\cos x+C_2\sin x$；设特解 $f_0=a{x}^2+bx+c$，代入得 $f_0=x^2-2$，故 $f(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+x^2-2$。

由 $f(0)=0$ 得 $C_1=2$；由 $f^{\prime }(x)=-C_1\sin x+C_2\cos x+2x$ 及 $f^{\prime }(0)=1$ 得 $C_2=1$。故
$$f(x)=2\cos x+\sin x+x^2-2.$$

代回原方程：
$$[x{y}^2-(2\cos x+\sin x-2)y]\mathrm{d}x+(-2\sin x+\cos x+2x+x^{2}y)\mathrm{d}y=0.$$

求原函数 $u(x,y)$ 使 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，得通解
$$-2y\sin x+y\cos x+\frac{x^2{y}^2}{2}+2xy=C(C\text{为任意常数}).$$