1994 年考研数学（一） 第 16 题

目标级数要与 $p$-级数比较，最想要的是 $|f(1/n)|\le M/n^2$。想得到 $n^2$，就得知道 $f$ 在 $0$ 附近至少是二阶小量；而条件 $\frac{f(x)}{x}\to 0$ 恰好压出 $f(0)=f^{\prime }(0)=0$，配合二阶导连续用泰勒公式，$f$ 的展开自 $x^2$ 起步。于是 $f(1/n)\sim \frac{f^{\prime \prime }(0)}{2n^2}$，绝对收敛由比较判别法立得。

分析：先由极限条件确定 $f(0)=f^{\prime }(0)=0$，再用泰勒公式把 $f(1/n)$ 控制成 $O(1/n^2)$。

由 $f$ 连续及 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$ 得 $f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$，且
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0.$$

由 $f$ 有二阶连续导数，带皮亚诺余项的泰勒公式给出
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+o(x^2)=\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}{x}^2+o(x^2)(x\to 0).$$

取 $x=\frac{1}{n}$，则 $f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}\cdot \frac{1}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$，故存在常数 $M>0$ 及正整数 $N$，当 $n>N$ 时
$$\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|⩽\frac{M}{n^2}.$$

因 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 收敛，由正项级数比较判别法知 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收敛，即 $\sum _{n=1}^{\infty }f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。