1994 年考研数学（一） 第 17 题

旋转体体积的通法是截面法，核心是求出每个高度 $z$ 处圆盘的半径。绕 $z$ 轴旋转的不变量是“到轴距离”，即 $x^2+y^2=x_0^2+y_0^2$，所以只要把线段参数化、写出 $x_0(z),y_0(z)$，半径平方 $(1-z{)}^2+z^2$ 便得，余下就是对截面面积积分。

分析：先写出线段 $AB$ 的参数式，再由绕 $z$ 轴旋转“到轴距离不变”得旋转曲面方程，最后用截面法求体积。

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,1)$，直线 $AB$ 的方程 $\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$，即 $x=1-z,y=z(0⩽z⩽1)$。

线段上点 $M_0(x_0,y_0,z)$ 绕 $z$ 轴旋转得点 $M(x,y,z)$ 满足 $x^2+y^2=x_0^2+y_0^2$，其中 $x_0=1-z,y_0=z$，故旋转曲面
$$S:x^2+y^2=(1-z{)}^2+z^2=1-2z+2z^2.$$

高度 $z$ 处的截面是半径平方为 $1-2z+2z^2$ 的圆盘，面积 $\pi (1-2z+2z^2)$，故
$$V={\int }_0^1\pi (1-2z+2z^2)\mathrm{d}z=\pi {\left[z-z^2+\frac{2}{3}{z}^3\right]}_0^1=\pi \cdot \frac{2}{3}=\frac{2\pi }{3}.$$