1994 年考研数学（一） 第 18 题

找两个方程组的公共解，最直接的思路是“让一个组的通解去满足另一个组”。（II）已给出含参数 $k_1,k_2$ 的通解，把它代入（I）的两个方程，就把公共解问题转化为解关于 $k_1,k_2$ 的条件方程；参数满足该条件时对应的向量即公共解，比联立两组全部方程更省事。

（1） 由（I）得 $x_1=-x_2,x_4=x_2$，取自由未知量 $(x_2,x_3)$。令 $(x_2,x_3)=(0,1)$ 得 $(0,0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$；令 $(x_2,x_3)=(1,0)$ 得 $(-1,1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。故（I）的基础解系为
$${\mathbf{\xi }}_1=(0,0,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_2=(-1,1,0,1{)}^{\mathrm{T}}.$$

（2） 有非零公共解。将（II）的通解 $(x_1,x_2,x_3,x_4{)}^{\mathrm{T}}=(-k_2,k_1+2k_2,k_1+2k_2,k_2{)}^{\mathrm{T}}$ 代入（I）：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-k_2+(k_1+2k_2)=k_1+k_2=0,\\ x_2-x_4=(k_1+2k_2)-k_2=k_1+k_2=0,\end{array}\Rightarrow k_1=-k_2.$$

当 $k_1=-k_2\ne 0$ 时，（II）的解为
$$k_1(0,1,1,0{)}^{\mathrm{T}}+k_2(-1,2,2,1{)}^{\mathrm{T}}=k_2[-(0,1,1,0{)}^{\mathrm{T}}+(-1,2,2,1{)}^{\mathrm{T}}]=k_2(-1,1,1,1{)}^{\mathrm{T}}.$$

故（I）与（II）的所有非零公共解为 $k(-1,1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$（$k$ 为任意非零常数）。