1994 年考研数学（一） 第 19 题

关键是把矩阵等式 ${\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 翻译成元素等式——伴随的元是代数余子式，于是条件变为 $a_{ij}=A_{ij}$。这样按某行展开 $|\mathbf{A}|={\sum }_j{a}_{ij}{A}_{ij}$ 就变成了 ${\sum }_j{a}_{ij}^2$，一个平方和；只要该行有非零元，行列式即严格为正，$|\mathbf{A}|\ne 0$ 自然成立。选“非零行”展开正是为保证平方和不为零。

分析：伴随矩阵的 $(i,j)$ 元是代数余子式 $A_{ji}$，转置的 $(i,j)$ 元是 $a_{ji}$，由相等得 $a_{ij}=A_{ij}$，再对某一行作行列式展开。

由 ${\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$，比较 $(i,j)$ 元得 $A_{ji}=a_{ji}$，即对一切 $i,j$ 有 $a_{ij}=A_{ij}$（元素等于其代数余子式）。

因 $\mathbf{A}$ 为非零矩阵，必有某一行不全为零，设第 $i$ 行含非零元素。按第 $i$ 行展开行列式：
$$|\mathbf{A}|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}=a_{i1}^2+a_{i2}^2+\cdots +a_{in}^2>0.$$

故 $|\mathbf{A}|\ne 0$，证毕。