1994 年考研数学（一） 第 22 题

前两问是数字特征的常规运算，把 $\mathrm{Cov}$ 当双线性函数展开即可，关键是先由 ${\rho }_{XY}$ 还原 $\mathrm{Cov}(X,Y)=-6$。第三问要害在于识别 $(X,Z)$ 仍服从二维正态（它是 $(X,Y)$ 的可逆线性变换）——唯有在正态前提下，${\rho }_{XZ}=0$（不相关）才能升级为相互独立，这正是本题让 $Z$ 的协方差恰为零的用意。

（1） $E(Z)=\frac{1}{3}E(X)+\frac{1}{2}E(Y)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{1}{3}$。

$D(X)=9,D(Y)=16$，$\mathrm{Cov}(X,Y)={\rho }_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 3\cdot 4=-6$，故
$$D(Z)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{2}D(X)+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}D(Y)+2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\mathrm{Cov}(X,Y)=1+4-2=3.$$

（2） $\mathrm{Cov}(X,Z)=\mathrm{Cov}\left(X,\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}\right)=\frac{1}{3}\mathrm{Cov}(X,X)+\frac{1}{2}\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{1}{3}\cdot 9+\frac{1}{2}\cdot (-6)=0$。
$${\rho }_{XZ}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Z)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Z)}}=0.$$

（3） 相互独立。因为 $\left(\begin{array}{c}X\\ Z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$ 是 $(X,Y)$ 的可逆线性变换，而 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，故 $(X,Z)$ 也服从二维正态分布。对二维正态分布，不相关与独立等价，又 ${\rho }_{XZ}=0$，所以 $X$ 与 $Z$ 相互独立。