1992 年考研数学（一） 第 9 题

$x^2|x|$ 在原点是「光滑到某阶就断」的典型，关键是弄清 $|x|$ 使分段两侧的高阶导数从哪一阶起不匹配。逐阶求导并在 $0$ 处比较左右极限，直到某阶左右不等为止，这是判定分段函数可导阶数的标准做法。

分析：把 $f$ 写成分段形式，逐阶求导并考察 $x=0$ 处各阶导数是否存在。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^3,& x<0,\\ 4x^3,& x\ge 0,\end{array}{f}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}6x^2,& x<0,\\ 12x^2,& x>0,\end{array}$$
且 $f^{\prime }(0)=0$；又 $f^{\prime \prime }(x)=\{\begin{array}{ll}12x,& x<0,\\ 24x,& x\ge 0,\end{array}$ 且 $f^{\prime \prime }(0)=0$。

考察三阶导数在 $0$ 处：$f_{-}^{\prime \prime \prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(0)}{x}=12$，$f_{+}^{\prime \prime \prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(0)}{x}=24$。

因 $f_{-}^{\prime \prime \prime }(0)\ne f_{+}^{\prime \prime \prime }(0)$，故 $f^{\prime \prime \prime }(0)$ 不存在，从而 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数为 $n=2$。应选 C。