1992 年考研数学（一） 第 10 题

「两个无关向量都是零空间的解」意味零空间维数 $\ge 2$，故 $r(A)\le 3-2=1$，一步排除秩过大的选项。剩下的用「代进去算 $A\xi$ 是否为零」验证即可，比正面解方程快得多。

分析：${\xi }_1,{\xi }_2$ 线性无关，若二者都是 $AX=0$ 的解，则基础解系至少含 $2$ 个解向量，故 $3-r(A)\ge 2$，即 $r(A)\le 1$。因此系数矩阵的秩必须不超过 $1$。

选项 (B)(C)(D) 中矩阵的秩都大于 $1$，均不合要求。只需验证 (A)：当 $A=(-211)$ 时，$A{\xi }_1=-2\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 2=0$，$A{\xi }_2=-2\cdot 0+1\cdot 1+1\cdot (-1)=0$，故 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 确为 $AX=0$ 的解。应选 A。