1992 年考研数学（一） 第 11 题

分母含根号是「用二项等价无穷小 $(1-x^2{)}^{1/2}-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2$」的信号，先把它换成 $\frac{1}{2}{x}^2$ 理顺结构。分子在 $0$ 处是二阶无穷小，与分母同阶，再洛必达两次（或泰勒展到 $x^2$）即得。

分析：分母用等价无穷小化简，分子用洛必达法则（或泰勒展开）。

当 $x\to 0$ 时，$1-\sqrt{1-x^2}=-\left[(1-x^2{)}^{1/2}-1\right]\sim -\left(-\frac{1}{2}{x}^2\right)=\frac{1}{2}{x}^2$。

于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^2}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-\sin x-1}{\frac{1}{2}{x}^2}\stackrel{\text{洛}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-\cos x}{x}\stackrel{\text{洛}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }(e^x+\sin x)=1.$$