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1992 年考研数学（一）第 12 题

解答题 · 5 分

设

z = f (e^{x} sin y, x^{2} + y^{2})

，其中

f

具有二阶连续偏导数，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

.

提示 1

设中间变量

u = e^{x} sin y

、

v = x^{2} + y^{2}

，先用链式法则写出一阶偏导

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} u_{x} + f_{2}^{'} v_{x}

。

提示 2

再对

y

求导时牢记：

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

仍是

u, v

（从而

x, y

）的函数，对它们求导要再套链式法则，生出

f_{11}^{''}, f_{12}^{''}, f_{22}^{''}

。

提示 3

别漏掉对系数

u_{x} = e^{x} sin y

关于

y

求导的项；最后用

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

合并同类项。

答案与详解

思路（为什么这么做）

抽象复合函数的二阶偏导，核心在于「一阶导里的

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

本身还是复合函数」，第二次求导必须对它们再用链式法则，这是最易漏之处。设

u, v

中间变量、分清哪些是外层系数（需用乘积法则），能让式子不乱。

解答

分析：记

u = e^{x} sin y

，

v = x^{2} + y^{2}

，用多元复合函数链式法则求导。记

f_{1}^{'} = \frac{\partial f}{\partial u}

，

f_{2}^{'} = \frac{\partial f}{\partial v}

，二阶偏导

f_{11}^{''}, f_{12}^{''}, f_{22}^{''}

，注意

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

仍是

u, v

（进而是

x, y

）的函数。

先求一阶偏导（

\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x} sin y

，

\frac{\partial v}{\partial x} = 2 x

）：

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot e^{x} sin y + f_{2}^{'} \cdot 2 x .

再对

y

求偏导（

\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x} cos y

，

\frac{\partial v}{\partial y} = 2 y

）：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = e^{x} sin y (f_{11}^{''} \cdot e^{x} cos y + 2 y f_{12}^{''}) + f_{1}^{'} \cdot e^{x} cos y + 2 x (f_{21}^{''} \cdot e^{x} cos y + 2 y f_{22}^{''}) .

利用

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

整理得

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{2} e^{2 x} sin 2 y f_{11}^{''} + 2 e^{x} (y sin y + x cos y) f_{12}^{''} + e^{x} cos y f_{1}^{'} + 4 x y f_{22}^{''} .

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

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