1992 年考研数学（一） 第 13 题

见到 $f(x-2)$ 且 $f$ 分段，第一反应是换元 $t=x-2$ 去掉复合、让分段点显现。换元后区间 $[-1,1]$ 恰跨越分界点 $0$，按 $t\le 0$、$t>0$ 拆开分别积分，避免用错表达式。

分析：作换元 $t=x-2$，把积分化到自然区间上，再按 $f$ 的分段点 $t=0$ 拆分。

令 $t=x-2$，当 $x:1\to 3$ 时 $t:-1\to 1$，$dt=dx$，故
$${\int }_1^{3}f(x-2)dx={\int }_{-1}^{1}f(t)dt.$$

按分段点拆开：
$${\int }_{-1}^{1}f(t)dt={\int }_{-1}^0(1+t^2)dt+{\int }_0^1{e}^{-t}dt={\left[t+\frac{t^3}{3}\right]}_{-1}^0+{\left[-e^{-t}\right]}_0^1=\frac{4}{3}+\left(1-\frac{1}{e}\right)=\frac{7}{3}-\frac{1}{e}.$$