1992 年考研数学（一） 第 14 题

常系数线性方程的核心是特征根。右端 $e^{\lambda x}$ 型且 $\lambda =-3$ 恰为单特征根，属「共振」情形，特解必须乘一个 $x$，否则代入恒为零、定不出系数——这是本题唯一易错点。

分析：二阶常系数非齐次线性方程，先求对应齐次方程的通解，再用待定系数法求特解。

特征方程 ${\lambda }^2+2\lambda -3=0$，特征根 ${\lambda }_1=-3$，${\lambda }_2=1$，故齐次方程 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }-3y=0$ 的通解为 $Y=C_1{e}^{-3x}+C_2{e}^x$。

因 $-3$ 是特征方程的单根，设特解 $y_0=ax{e}^{-3x}$，代入原方程得 $-4a{e}^{-3x}=e^{-3x}$，解得 $a=-\frac{1}{4}$。

故原方程通解为
$$y=C_1{e}^{-3x}+C_2{e}^x-\frac{1}{4}x{e}^{-3x}(C_1,C_2\text{为任意常数}).$$