1992 年考研数学（一） 第 15 题

第二类曲面积分遇不封闭曲面，标准招式是「补面凑高斯」。补 $z=0$ 底盘后，散度 $3(x^2+y^2+z^2)$ 在半球体上用球坐标一积即得；代价是扣掉补面积分，而补面上 $z=0$ 使多数项归零、再借 $x^2,y^2$ 轮换对称，计算量很小。

分析：$\Sigma$ 不封闭，补一块平面圆盘 ${\Sigma }_1$ 使之围成闭曲面，对闭曲面用高斯公式，再减去补面上的积分。

补 ${\Sigma }_1:z=0(x^2+y^2\le a^2)$，取下侧，则 $\Sigma +{\Sigma }_1$ 为上半球体 $\Omega$ 的外侧封闭曲面。由高斯公式（用球坐标计算三重积分）：
$$\iint ={\iiint }_{\Omega }(3x^2+3y^2+3z^2)dv=3{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /2}d\phi {\int }_0^a{r}^4\sin \phi dr=\frac{6\pi }{5}{a}^5.$$

在补面 ${\Sigma }_1$ 上 $z=0$，故 $dydz$、$dzdx$ 两项为 $0$；因取下侧，由对称性 ${\iint }_{x^2+y^2\le a^2}{y}^{2}dxdy=\frac{1}{2}{\iint }_{x^2+y^2\le a^2}(x^2+y^2)dxdy$：
$${\iint }_{{\Sigma }_1}={\iint }_{{\Sigma }_1}a{y}^{2}dxdy=-a{\iint }_{x^2+y^2\le a^2}{y}^{2}dxdy=-\frac{a}{2}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{r}^{3}dr=-\frac{\pi }{4}{a}^5.$$

故
$$I=\iint -{\iint }_{{\Sigma }_1}=\frac{6\pi }{5}{a}^5-\left(-\frac{\pi }{4}{a}^5\right)=\frac{29}{20}\pi a^5.$$