乐思数学通 › 考研数学（一） › 真题检索 › 1992 年
1992 年考研数学（一） 第 16 题
解答题 · 7 分
设 ，，证明：对任意的 ，，有 .
提示 1
把要证的不等式作差、结合 ，整理成「两个增量之差」，考虑对每个增量用拉格朗日中值定理。提示 2
不妨设 ，对 与 （跨度都是 ）分别用中值定理，各得一个 。提示 3
两中值点满足 ，再用 递减来比较 与 。答案与详解
思路（为什么这么做）
证含 符号的不等式，中值定理是把「函数值之差」换成「导数值」的桥梁。关键构造是把待证式拆成两个跨度均为 的增量 与 ，其中值点一前一后，靠 递减一步比出大小。
解答
分析：不妨设 。对 与 分别用拉格朗日中值定理，再利用 （即 单调递减）比较两个中值处的导数。
不妨设 。由拉格朗日中值定理：
因为 ，故 单调递减；又 ，即 ，故 ，从而
即 ，证毕。
不妨设 。由拉格朗日中值定理：
因为 ，故 单调递减；又 ，即 ，故 ，从而
即 ，证毕。