1992 年考研数学（一） 第 17 题

题目是「先做功、再最值」。功用第二类曲线积分算，直线参数化后被积式恰能积成 $\xi \eta \zeta$；随后是带等式约束的极值，标准用拉格朗日乘数法。由对称性预判 $\frac{{\xi }^2}{a^2}=\frac{{\eta }^2}{b^2}=\frac{{\zeta }^2}{c^2}$ 可加速求解。

分析：先沿直线段计算功 $W$（第二类曲线积分），得到 $W$ 关于 $\xi ,\eta ,\zeta$ 的表达式，再在椭球面约束下用拉格朗日乘数法求最大值。

直线段 $OM:x=\xi t,y=\eta t,z=\zeta t(t:0\to 1)$，则
$$W={\int }_{OM}yzdx+zxdy+xydz={\int }_0^{1}3\xi \eta \zeta t^{2}dt=\xi \eta \zeta .$$

下面在约束 $\frac{{\xi }^2}{a^2}+\frac{{\eta }^2}{b^2}+\frac{{\zeta }^2}{c^2}=1(\xi ,\eta ,\zeta \ge 0)$ 下求 $W=\xi \eta \zeta$ 的最大值。令
$$F(\xi ,\eta ,\zeta ,\lambda )=\xi \eta \zeta +\lambda \left(1-\frac{{\xi }^2}{a^2}-\frac{{\eta }^2}{b^2}-\frac{{\zeta }^2}{c^2}\right),$$
由 $F_{\xi }=F_{\eta }=F_{\zeta }=0$ 得 $\eta \zeta =\frac{2\lambda }{a^2}\xi$，$\xi \zeta =\frac{2\lambda }{b^2}\eta$，$\xi \eta =\frac{2\lambda }{c^2}\zeta$，从而 $\frac{{\xi }^2}{a^2}=\frac{{\eta }^2}{b^2}=\frac{{\zeta }^2}{c^2}$。

结合约束得 $\frac{{\xi }^2}{a^2}=\frac{{\eta }^2}{b^2}=\frac{{\zeta }^2}{c^2}=\frac{1}{3}$，即 $\xi =\frac{a}{\sqrt{3}},\eta =\frac{b}{\sqrt{3}},\zeta =\frac{c}{\sqrt{3}}$。由问题的实际意义知此时功最大，最大值
$$W_{\max }=\xi \eta \zeta =\frac{abc}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}abc.$$