1992 年考研数学（一） 第 18 题

这类题靠两条定理：「无关组的部分组仍无关」和「无关组添一向量后变相关 $\Rightarrow$ 该向量可被唯一表示」。(1) 正面套定理；(2) 反证——若 ${\alpha }_4$ 可由前三者表示，借 (1) 消去 ${\alpha }_1$，就得 ${\alpha }_4$ 由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示，与无关矛盾。

分析：利用「线性无关向量组的部分组仍线性无关」以及线性相关/线性表示的判定定理；(2) 用反证法。

(1) ${\alpha }_1$ 能由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示。 因为 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，其部分组 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 也线性无关；又 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，而 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 无关，故 ${\alpha }_1$ 必可由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示。

(2) ${\alpha }_4$ 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示。 反证：若 ${\alpha }_4$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示，由 (1) 知 ${\alpha }_1$ 可由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 表示，代入即得 ${\alpha }_4$ 可由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示，从而 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性相关，与已知 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关矛盾。故 ${\alpha }_4$ 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示。