1992 年考研数学（一） 第 19 题

求 $A^n\beta$ 而已知全套特征对，标准套路是「在特征向量基下展开 $\beta$」，因为 $A$ 作用于特征向量只是数乘，$A^n{\xi }_i={\lambda }_i^n{\xi }_i$ 让高次幂瞬间可算，避开求 $A$ 本身与对角化，只需解一次坐标表示。

分析：先把 $\beta$ 表为特征向量的线性组合，再利用 $A^n{\xi }_i={\lambda }_i^n{\xi }_i$ 求 $A^n\beta$。

(1) 设 $\beta =x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2+x_3{\xi }_3$，对增广矩阵作初等行变换：
$$({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\mid \beta )=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 3& 1\\ 1& 4& 9& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right),$$
得唯一解 $(x_1,x_2,x_3)=(2,-2,1)$，故 $\beta =2{\xi }_1-2{\xi }_2+{\xi }_3$。

(2) 由 $A{\xi }_i={\lambda }_i{\xi }_i$ 得 $A^n{\xi }_i={\lambda }_i^n{\xi }_i(i=1,2,3)$，故
$$A^n\beta =2A^n{\xi }_1-2A^n{\xi }_2+A^n{\xi }_3=2\cdot 1^n{\xi }_1-2\cdot 2^n{\xi }_2+3^n{\xi }_3.$$

$$A^n\beta =2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)-2^{n+1}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)+3^n\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-2^{n+1}+3^n\\ 2-2^{n+2}+3^{n+1}\\ 2-2^{n+3}+3^{n+2}\end{array}\right).$$