1992 年考研数学（一） 第 20 题

「全不发生」是补事件的信号，德摩根律把它变成并集的补，再套三事件容斥公式即可。唯一要动脑的是 $P(ABC)$——注意 $ABC\subset AB$ 而 $P(AB)=0$ 逼出 $P(ABC)=0$，其余数据直接代入。

分析：$A,B,C$ 全不发生即事件 $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$，用德摩根律化为 $\overline{A+B+C}$，再用容斥（加法）公式。

由 $ABC\subset AB$ 且 $P(AB)=0$，得 $P(ABC)=0$。于是
$$P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=P(\overline{A+B+C})=1-[P(A)+P(B)+P(C)]+[P(AB)+P(AC)+P(BC)]-P(ABC).$$

代入数值：
$$P(\bar{A}\bar{B}\bar{C})=1-\frac{3}{4}+\left(0+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\right)-0=1-\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}.$$