1992 年考研数学（一） 第 21 题

期望线性性让 $E(X)$ 与 $E(e^{-2X})$ 分开算：前者是指数分布均值 $=1$；后者按「随机变量函数的期望」积分，$e^{-2x}\cdot e^{-x}=e^{-3x}$ 合并指数后是最基本的积分，从而无需求 $e^{-2X}$ 的分布。

分析：$X$ 的概率密度为 $f(x)=e^{-x}(x>0)$，其余为 $0$。用 $E(g(X))={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$ 及期望的线性性分别计算。

$$E(X+e^{-2X})={\int }_0^{+\infty }(x+e^{-2x})e^{-x}dx={\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-3x}dx.$$

其中 ${\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx=\Gamma (2)=1$，${\int }_0^{+\infty }{e}^{-3x}dx=\frac{1}{3}$，故 $E(X+e^{-2X})=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$。