1992 年考研数学（一） 第 22 题

独立和的密度可卷积，也可「先分布函数再求导」。本题后者更顺：对 $x$ 先积分，正态密度积到 $z-y$ 恰是 $\Phi \left(\frac{z-y-\mu }{\sigma }\right)$；再对 $z$ 求导、利用 $Y$ 均匀密度只在 $[-\pi ,\pi ]$ 非零，就落成 $\Phi$ 的差。分布函数法能自然引出题目要求的 $\Phi$。

分析：$X,Y$ 独立，先求 $Z=X+Y$ 的分布函数 $F_Z(z)=P\{X+Y\le z\}$，把联合密度在区域 $x+y\le z$ 上积分，再对 $z$ 求导得密度。

$X$ 的密度 $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}(-\infty <x<+\infty )$；$Y$ 的密度 $f_Y(y)=\frac{1}{2\pi }(-\pi <y<\pi )$，其余为 $0$。由独立性，$(X,Y)$ 的联合密度 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。

$$F_Z(z)={\iint }_{x+y\le z}f(x,y)dxdy=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }dy{\int }_{-\infty }^{z-y}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\Phi \left(\frac{z-y-\mu }{\sigma }\right)dy.$$

对 $z$ 求导即得 $Z$ 的概率密度
$$f_Z(z)=\frac{1}{2\pi }\left[\Phi \left(\frac{z+\pi -\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{z-\pi -\mu }{\sigma }\right)\right].$$