1992 年考研数学（一） 第 8 题

直线平行于平面 $⟺$ 方向向量垂直于法向量 $⟺$ 数量积为零，这是几何条件代数化的关键。切向量随 $t$ 变，条件化成一个关于 $t$ 的方程，数一数不同实根（各对应一个切点）即得切线条数。

分析：切线与平面平行 $⟺$ 切向量与平面法向量垂直（数量积为 $0$）。

曲线的切向量为 $T=\{x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)\}=\{1,-2t,3t^2\}$，平面 $x+2y+z=4$ 的法向量为 $n=\{1,2,1\}$。

由 $T\cdot n=0$ 得 $1-4t+3t^2=0$，解得 $t_1=\frac{1}{3}$，$t_2=1$。它们对应两个不同切点，故满足条件的切线恰有 $2$ 条。应选 B。