1992 年考研数学（一） 第 7 题

交错级数问敛散且选项含「绝对/条件收敛」，先查绝对收敛往往更快。用 $1-\cos t\sim t^2/2$ 把一般项估成 $\sim \frac{{\alpha }^2}{2n^2}$，是 $p=2>1$ 的收敛级数，故绝对收敛；$\alpha$ 只进常数系数、不影响敛散。

分析：考察一般项的绝对值，用等价无穷小估阶后与 $p$-级数比较。

$$\left|(-1{)}^n\left(1-\cos \frac{\alpha }{n}\right)\right|=1-\cos \frac{\alpha }{n}=2{\sin }^2\frac{\alpha }{2n}\sim 2\cdot \frac{{\alpha }^2}{4n^2}=\frac{{\alpha }^2}{2n^2}(n\to \infty ).$$

由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\alpha }^2}{2n^2}$ 收敛（$p=2>1$），由比较判别法知 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|(-1{)}^n\left(1-\cos \frac{\alpha }{n}\right)\right|$ 收敛，即原级数绝对收敛，且与 $\alpha$ 的具体取值无关。应选 C。