1992 年考研数学（一） 第 6 题

指数上出现 $\frac{1}{x-1}$ 这种在某点两侧变号趋于 $\pm \infty$ 的量，是「必须分左右极限」的强信号。约分去掉干扰后，本质是比较 $e^{-\infty }=0$ 与 $e^{+\infty }=+\infty$ 两个截然不同的结果，故极限不存在且非 $\infty$。

分析：先化简 $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$，再分别考察 $x\to 1$ 时 $e^{\frac{1}{x-1}}$ 的左、右极限。

当 $x\to 1^{-}$ 时，$\frac{1}{x-1}\to -\infty$，$e^{\frac{1}{x-1}}\to 0$，故 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}=2\cdot 0=0$。

当 $x\to 1^{+}$ 时，$\frac{1}{x-1}\to +\infty$，$e^{\frac{1}{x-1}}\to +\infty$，故 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}=+\infty$。

左极限为 $0$、右极限为 $+\infty$，二者不相等，故极限不存在；但它并非双侧都趋于无穷，因此也不是 $\infty$。应选 D。