1992 年考研数学（一） 第 5 题

元素形如「行标量 $\times$ 列标量」是秩一矩阵的典型标志，应立即想到分解 $A=\alpha {\beta }^T$。分解成功后秩 $\le 1$ 自动成立；再由 $a_i,b_i$ 全非零保证 $A$ 非零、秩 $\ge 1$，两头一夹即得 $r(A)=1$。

分析：观察到该矩阵可写成一个列向量与一个行向量的乘积（秩一矩阵）。

记 $\alpha =(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^T$，$\beta =(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T$，则 $A=\alpha {\beta }^T$。由 $r(\alpha {\beta }^T)\le r(\alpha )=1$ 知 $r(A)\le 1$。

又因 $a_i\ne 0,b_i\ne 0$，故 $A\ne O$，从而 $r(A)\ge 1$。综上 $r(A)=1$。