1992 年考研数学（一） 第 4 题

方程对 $y,y^{\prime }$ 是一次的、系数只含 $x$，属一阶线性方程，直接套积分因子公式最稳。妙处在于积分因子 $e^{\int \tan xdx}=1/\cos x$ 恰与右端 $\cos x$ 抵消，被积函数变成常数 $1$，积分立得 $x+C$。

分析：这是一阶线性微分方程 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$，其中 $P(x)=\tan x$，$Q(x)=\cos x$，用通解公式 $y=e^{-\int Pdx}\left(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right)$。

由 $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|$，得 $e^{\int \tan xdx}=\frac{1}{\cos x}$，$e^{-\int \tan xdx}=\cos x$。

故
$$y=\cos x\left(\int \cos x\cdot \frac{1}{\cos x}dx+C\right)=\cos x(x+C)=(x+C)\cos x.$$