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1992 年考研数学（一）第 3 题

填空题 · 3 分

设

f (x) = {- 1, 1 + x^{2}, - π < x \leq 0, 0 < x \leq π,

则其以

2 π

为周期的傅里叶级数在点

x = π

处收敛于 ___.

提示 1

傅里叶级数在某点收敛到什么值由狄利克雷（Dirichlet）收敛定理决定，不必真的把级数求和。

提示 2

定理给出：级数收敛于该点左右极限的平均

\frac{f ( x _{0}^{-} ) + f ( x _{0}^{+} )}{2}

。

提示 3

x = π

是周期区间端点，它的「右侧」要按

2 π

周期延拓过去，即取

f (- π^{+})

，不能直接用

1 + x^{2}

在

π

处的值当右极限。

答案与详解

答案 $\frac{π ^{2}}{2}$

思路（为什么这么做）

看到「傅里叶级数在某点收敛于」应条件反射用狄利克雷定理，而非求级数和。难点在

x = π

恰为周期端点：周期延拓后该点两侧分别是区间右端

f (π^{-}) = 1 + π^{2}

和延拓来的左端

f (- π^{+}) = - 1

，取平均即得。

解答

分析：由狄利克雷（Dirichlet）收敛定理，傅里叶级数在点

x_{0}

处收敛于

\frac{f ( x _{0} - 0 ) + f ( x _{0} + 0 )}{2}

。

x = π

是周期端点，右极限需按周期延拓取

f (- π + 0)

。

在

x = π

处：左极限

f (π - 0) = 1 + π^{2}

；由周期性右极限

f (π + 0) = f (- π + 0) = - 1

。

故级数在

x = π

处收敛于

\frac{f ( π - 0 ) + f ( - π + 0 )}{2} = \frac{( 1 + π ^{2} ) + ( - 1 )}{2} = \frac{π ^{2}}{2} .

考点：傅里叶级数

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